Por @franciscoxec

Dice la leyenda que Pitágoras la pasaba mal cuando escuchaba a los músicos en la antigua Grecia, pues, para su oído, siempre estaban desafinados. Él, amante de los números y, por lo tanto, del orden, quería que también los sonidos musicales fueran parte de una estructura exacta.

Los movimientos de los planetas y demás cuerpos celestes hasta donde le era posible divisar podían ser descritos según sus fórmulas matemáticas. Y todo tenía que ser simple, como el elegante teorema que lleva su nombre, donde la hipotenusa de un triángulo recto mide 5 unidades y sus catetos, 4 y 3 unidades, respectivamente.

Continuando con la historia, se dice que, obsesionado con las notas musicales y su orden, Pitágoras se encontraba caminando cerca de una herrería y escuchó que algunos martillazos sonaban muy bien a la vez; y otros, mal (vaya oído que debe haber tenido).

Al acercarse, comprobó que los martillos que sonaban bien cuando colisionaban a la vez contra los yunques tenían proporciones que podían ser expresadas en números simples: 1, 2, 3…

Golpe, sonido y relación numérica de proporciones.

Dos martillos del mismo tamaño hacían un unísono. Sonaban ‘bien’. Luego, dos martillos cuyas masas eran el doble o la mitad con respecto al otro, también (relación de 1:2 o de 2:1). Además, comprobó que otro sonido muy agradable a sus oídos era la proporción 3:2.

Lo que él estaba escuchando en esa proporción 3:2 es lo que ahora llamamos una ‘quinta’, pero mejor no pensar en esta proporción con este nombre (por ahora), porque lleva a la confusión. Insistimos en esto, pues es error común entre los profanos intentar buscar una relación matemática sumando 3 más 2 para que aparezca el 5, por ejemplo.

Este gusto de Pitágoras por la proporción de 3:2 es clave en la historia de la música porque, a partir de ahí, él dividiría en 12 partes la distancia de lo que hoy llamamos una ‘octava’. ¿Pero por qué el matemático utilizó la proporción de 3:2 para encontrar notas dentro de la octava? Pues porque con la proporción que más le gustaba (la de 1:2 o 2:1) solo estaba duplicando o dividiendo la frecuencia por (o entre) dos.

Es decir, que si a Pitágoras únicamente le hubiera gustado esta proporción y ninguna otra, nuestro piano actual solo tendría ocho teclas de ‘la’ o siete teclas de ‘do’ (y no las 88 teclas que actualmente tiene este instrumento). Por lo tanto, era evidente para su oído (y para cualquiera de su época por los instrumentos que ya existían) que había más notas por encontrar entre un martillo de masa 2 y otro de masa 1.

El ejemplo de los martillos también sirve con cuerdas, donde las proporciones serían de longitud y no de masa, siempre y cuando las cuerdas sean del mismo grosor y material.

Entonces, Pitágoras se puso manos a la obra. Tenía que encontrar una fórmula que le permitiera encontrar más notas entre 1 y 2. Y, amante él de lo sencillo o ‘natural’, optó por buscar con la otra proporción que le pareció correcta, la de 3:2 o 3/2. Es decir, 1.5 (que está entre 1 y 2). Hasta ese entonces, Pitágoras solo tenía este número en medio del 1 y 2 para hacer su escala. Así que decidió encontrar el 3:2 de ese 1.5 que ya había hallado.

¿Y cómo lo hizo? Pues generando múltiplos de 3/2. La fórmula es la siguiente:

Su regla fue no repetir el valor de ‘n’ en el numerador. Lo mismo con ‘m’ en el denominador. Así que empezó por el principio:

Aquí, 2.25 es mayor que 2, por lo que el matemático volvió a dividir entre dos:  

¡Eureka! Pitágoras ya tenía cuatro notas en su escala: 1, 1.125, 1.5 y 2. Él siguió con su fórmula:

Etc…

Así, fue encontrando números entre el 1 y el 2:

,    ,    ,     ,  ,     ,    ,     ,    ,    ,    ,    ,    (por limitaciones del editor de texto de esta web, los exponenciales con dos numerales no aparecen correctamente como exponenciales).

Pero cuando llegó al número (o nota) 13, resultado de la fracción 3 a la 12 entre 2 a la 18 (), su valor era demasiado cercano al 2, y si lo dividía entre 2, demasiado cercano al 1. Así que decidió detenerse ahí y quedarse con las 12 notas que había encontrado. Y no solo eso, que de las 12 solo rescató 7, las ahora famosas do (1), re (2), mi (3), fa (4), sol (5), la (6) y si (7).

Como se puede ver, el puesto 5 de estas notas elegidas es sol, que corresponde al número 1.5, la proporción 3:2 que tanto gustaba a Pitágoras. Sin embargo, si el matemático no hubiera hecho esa selección de 7 notas sino incluido todas, ese 3:2 ocuparía el puesto 8 (incluyendo los semitonos obviados). Pues bien, el asunto es que Pitágoras eligió solo 7 notas que le sonaban bien y fruto de esa selección 3:2 es la quinta nota. Es por esa razón que se dice que ‘un intervalo de quinta’ tiene una proporción de 3:2. No por otro motivo, que quede claro.

Representación del árbol pitagórico.

Tal vez, para Pitágoras fue una gran desilusión que este número 13 no sea exactamente un 2, teniendo en cuenta que él concebía al universo simple, ‘natural’ (según su concepto de ‘natural’ basado en números enteros) o, simplemente, lo habrá tomado como su famoso número π, de infinitos decimales.

De todos modos, dejando de lado el enigma de este número 13 que pasó a llamarse ‘coma pitagórica’ y él decidió obviar, desde entonces, su escala ganó la reputación de ser ‘natural’. ¿Pero qué tan natural? Total, si todo partía de un orden mental pitagórico y de fórmulas inventadas y consideradas por él como ‘naturales’, ¿acaso por ello mismo esta escala es natural o auténtica? Después de todo, Pitágoras estaba ordenando las notas musicales tal como hemos hecho con el tiempo y nuestro calendario de 365 días, que tan  ‘natural’ no es, porque hay que ajustarlo cada cierto tiempo debido a que una vuelta al sol se hace en 365 días, 5 horas , 48 minutos y 45 segundos. Antropocentrismo en estado puro… Sin embargo, y para gusto de quienes consideran natural a este sistema, si bien está comprobado que la percepción de armonía no es igual en todas las culturas, ciertos experimentos con ondas de distinto tipo podrían comprobar la ‘naturalidad’ de la escala pitagórica.

El asunto es que, desde hace 2500 años, tenemos esta escala, la cual, con ligeras variaciones y omisiones (escalas pentatónicas, por ejemplo), ha sido también encontrada en algunas otras culturas aparentemente no comunicadas entre sí en tiempo y espacio. ¿Cómo así? Pues una explicación física es que, cuando un instrumento emite una nota, aparte de su frecuencia fundamental, también produce otras secundarias llamadas ‘sobretonos’, las cuales pueden ser armónicas o inarmónicas.

Representación gráfica de la fundamental y los sobretonos de una nota musical.

Pues bien, entre todos los pares de notas que se tocan a la vez con un instrumento, el par de notas que más sobretonos comparte, aparte del de proporción 1:2, es el que está separado por un intervalo de ‘quinta’ (ahora ya podemos llamarlo así, que antes solo lo llamábamos 3:2). Es decir, que mal oído no tenía Pitágoras, y mientras él utilizó un camino matemático para encontrar sus doce notas, otros pudieron haber hecho lo mismo aunque sin que quedara registrado para la posteridad o, tal vez, solo con ensayo-error y mucho oído.

Sin embargo, de las siete notas seleccionadas por Pitágoras, en la práctica solo unas cuantas de ellas (cuatro o cinco) se utilizaban en composiciones ‘cultas’, debido a una mezcla de gustos y supersticiones (o religión, como quiera llamársele). Todo esto siguió así durante 2000 años hasta que, en el siglo XV, el compositor y sacerdote inglés John Dunstable (1390-1453) desafió estas leyes, incorporando terceras y sextas en sus creaciones, algo revolucionario y vanguardistas para la época. De ahí que se diga que él es el músico más influyente de Inglaterra y no The Beatles. Y con justa razón.

El atrevimiento de John Dunstable fue replicado por varios compositores primero en Francia (en los territorios invadidos en ese entonces por el Imperio Británico, mientras quemaba viva a Juana de Arco) y luego en todo Europa. Ello abrió el apetito de varios compositores de la época que querían experimentar con más notas, más instrumentos, más… ¡Más todo!

Sin embargo, la escala ‘natural’ o pitagórica tenía el inconveniente de que esa nota 13 no entraba en ningún lado y menos aun las notas 14, 15 y siguientes. Bajo el orden pitagórico, se generaba un caos cuando un instrumento tenía que buscar notas más allá de una octava. Sobre todo con instrumentos de teclas, pues sus notas son fijas, a diferencia de la voz y de los instrumentos de cuerda sin trastes (cuando las cuerdas no son tocadas al aire), entre otros.

Los afinadores de la época tenían que hacer virguerías para ajustar unos instrumentos que, cuando quedaban afinados por ahí, también quedaban desafinados por allá, razón por la cual no podían pasar de una tonalidad a otra con los mismos instrumentos o, en todo caso, debían afinar todo de nuevo entre tema y tema. Lo más común era que, por ejemplo, si la pieza estaba en sol, se intentara afinar con quintas desde esa nota. Y ni pensar el caos que se generaba en un tema cuando el compositor requería modular hacia otras tonalidades, lo que era cada vez más apetecido por los creadores.

¿Estamos todos afinados? Bueno, más o menos…

Todo esto quedó solucionado con el llamado ‘sistema temperado’, que encontró una respuesta matemática para que las notas estén equitativamente distribuidas en todo el espectro sonoro que el ser humano es capaz de escuchar, dividiendo los semitonos de un instrumento mediante la siguiente fórmula:

(el símbolo matemático es la duodécima raíz de dos, pero por limitaciones del editor de texto de esta web, no se puede representar exactamente).

Con esta fórmula, la razón o proporción de frecuencias entre dos notas contiguas de la escala siempre es la misma: 1.059463. Así, ya se podían tocar temas de distintas tonalidades con un mismo instrumento, modular dentro de una misma pieza y componer para decenas de instrumentos a la vez (siempre y cuando se tomara como referencia unos Hertz específicos para una nota, como el ‘la 440’ de la actualidad). El inventor de este sistema temperado está en debate, pero se suele atribuir al chino Zhu Zaiyu el descubrimiento de esta fórmula matemática en el año 1580 (fecha en que publicó su trabajo).

Por supuesto, eso implicaba un costo: las notas ‘naturales’ de Pitágoras ya no eran exactas a las del sistema temperado. Esta es la tabla comparativa:

(Estos números de la escala pitagórica varían ligeramente con respecto a otras formas de calcularlas, como en la tabla de Wikipedia ‘Comparison to just entonation‘, donde las notas son obtenidas por fracciones simples como 5/4 u 8/5. El autor de este ensayo decidió utilizar la fórmula de  para poder explicar la importancia de la ‘quinta’ en el hallazgo de las notas musicales).

A pesar de sus ventajas, muchos músicos no estaban de acuerdo con este sistema por no considerarlo ‘natural’ o porque destruía la esencia de mucha música que estaba hecha sobre sistemas de afinación alternativos. Sin embargo, desde que Johann Sebastian Bach (1685-1750) presentara su trabajo El clave bien temperado, donde recorre todas las notas de la escala con un solo instrumento, y demostrara con esta maravillosa obra las ventajas del sistema temperado, el debate prácticamente quedó cerrado. La obra de Bach fue culminada en 1722 y su difusión masiva empezó en 1801, que es cuando se imprimió. Por eso, el músico alemán es 10 mil veces más influyente que Kraftwerk.

Si bien puede que se haya perdido algo con el sistema temperado, todas las composiciones que fueron posibles hacer desde que existe inclinan la balanza a su favor. Y sobre su artificialidad, pues también habría que cuestionar toda la ingeniera, tecnología y conocimientos humanos. El sistema temperado no es más que uno de los tantos intentos de nuestra especie por ordenar el mundo a nuestra imagen y semejanza, como el dios bíblico.

Con todo, es más lo ganado que lo perdido con él. Y como ya se ha mencionado, hay más sistemas y el reto, ahora, sería experimentar con este conocimiento. Tal vez, volver a los orígenes, a lo ‘natural’, o crear nuevos horizontes sonoros.

Francisco Estrada, Barcelona, 12 de febrero de 2017.